Claves, matrices y mensajes ocultos: la criptografía en grado décimo
Por, Felipe González, docente de Matemáticas de Bachillerato
Como parte del proyecto integrado de grado décimo relacionado con la criptografía, los estudiantes han dedicado las últimas semanas a aprender nuevos conceptos matemáticos y a relacionarlos con conocimientos que ya habían desarrollado. La experiencia les ha permitido reconocer que temas como las matrices, los vectores y las funciones inversas pueden utilizarse para proteger información y descubrir mensajes ocultos.
Uno de los métodos estudiados ha sido el cifrado de Hill, un sistema en el que las letras se representan mediante números y se organizan en vectores. Posteriormente, estos vectores se multiplican por una matriz que funciona como clave para transformar el mensaje original en un mensaje cifrado. Para realizar este procedimiento, los estudiantes aplican operaciones entre matrices y vectores, mientras fortalecen su comprensión de estos conceptos.
El proceso también introduce la matemática modular. En este sistema, los resultados se organizan dentro de un conjunto limitado de valores y vuelven a comenzar cuando alcanzan un límite determinado, de manera similar a lo que ocurre con las horas de un reloj. Esta estructura permite relacionar los resultados numéricos con las letras del alfabeto y mantener el proceso de cifrado dentro de un ciclo definido.
La siguiente etapa será el descifrado de los mensajes. Para ello, los estudiantes aprenderán a calcular y utilizar la inversa modular de la matriz clave, con la cual podrán deshacer la transformación inicial y recuperar la información original. Este proceso exigirá precisión en los cálculos, comprensión de la secuencia empleada y capacidad para verificar si el mensaje obtenido tiene sentido.
El uso de la matriz inversa establece, además, una conexión significativa con las funciones inversas estudiadas en la clase de Precálculo. Aunque se trata de procedimientos matemáticos diferentes, ambos comparten una idea fundamental: una operación inversa permite deshacer una transformación y regresar al valor o mensaje inicial. De esta manera, un concepto que puede parecer abstracto adquiere una aplicación concreta dentro de la criptografía.
Esta experiencia integrada muestra que las Matemáticas no se limitan a la resolución de ejercicios aislados. También constituyen un lenguaje para organizar, transformar y proteger información. Mediante el cifrado de Hill, los estudiantes aplican sus conocimientos, desarrollan nuevos procedimientos y descubren cómo las matrices, los vectores y las operaciones inversas participan en sistemas de comunicación y seguridad.
Detrás de cada mensaje oculto existe una estructura matemática que permite cifrarlo, analizarlo y volver a encontrarlo.
Keys, matrices, and hidden messages: Cryptography in 11th grade
By, Felipe González, High School Mathematics teacher
As part of the 11th-grade integrated project on cryptography, students have spent the past few weeks learning new mathematical concepts and connecting them with knowledge they had already developed. This experience has helped them recognize that topics such as matrices, vectors, and inverse functions can be used to protect information and uncover hidden messages.
One of the methods they have studied is the Hill cipher, a system in which letters are represented by numbers and arranged into vectors. These vectors are then multiplied by a matrix that serves as a key, transforming the original message into an encrypted one. Through this process, students apply operations involving matrices and vectors while strengthening their understanding of these concepts.
The project also introduces students to modular arithmetic. In this system, results remain within a limited set of values and begin again after reaching a specific limit, similarly to the way hours are organized on a clock. This structure makes it possible to connect numerical results with the letters of the alphabet while keeping the encryption process within a defined cycle.
The next stage will involve decrypting the messages. To accomplish this, students will learn how to calculate and use the modular inverse of the key matrix, allowing them to reverse the original transformation and recover the initial information. This process will require accurate calculations, a clear understanding of the sequence of operations, and the ability to verify whether the recovered message makes sense.
The use of the inverse matrix also establishes a meaningful connection with the inverse functions students are studying in Precalculus. Although these are different mathematical procedures, they share a fundamental idea: an inverse operation can undo a transformation and return to the original value or message. In this way, a concept that may initially appear abstract acquires a concrete application within cryptography.
This integrated experience demonstrates that Mathematics is not limited to solving isolated exercises. It also provides a language for organizing, transforming, and protecting information. Through the Hill cipher, students apply their knowledge, develop new procedures, and discover how matrices, vectors, and inverse operations contribute to communication and security systems.
Behind every hidden message lies a mathematical structure that makes it possible to encrypt, analyze, and uncover it again.
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